感受数学的别样美丽
——《因数与倍数》课堂教学案例
青岛平安路第二小学 高玉翔
《因数与倍数》是青岛版教材“拓展平台”中的内容。青岛版教材在引入因数和倍数的概念时与以往的教材有所不同。在以往的教材中，都是通过除法算式来引出整除的概念，每个除法算式对应着一对有整除关系的数，在此基础上再引出因数和倍数的概念。而现在的青岛版教材中没有用数学语言给“整除”下定义，而是利用学生贴画为素材，通过不同贴法引出不同的乘法算式，通过乘法算式引出因数和倍数的意义。这部分内容学生初次接触，对于学生来说是比较难掌握的内容。
《因数与倍数》是一节数学概念课。数学概念是学生数学学习的逻辑起点，是学生进行数学思维的核心。本节课引导学生通过领略数学的神奇奥妙去感受数学的别样美丽，使概念教学成为学生积极主动、勇于探索的过程，让数学概念教学回归数学本质，让学生在数学概念的建构中增长智慧，在知识形成的过程中发展数学思考能力、提高他们的数学素养。本节课主要体现在：
一、感受数学文化之美（下面一段拔得太高，从设计意图中，看不出数学文化以及其美在哪里，写得具体些吧）
课堂教学毋庸置疑，其重点应放在学生的知识构建中，作为数学教育它所反映的是对数学文化的传承。为避免枯燥乏味的学习，我们应从文化的养成观念的形成来反映数学文化教育的社会性；用数学的思想方法、思维方式来解决实际问题；从数学理论中把所蕴含的哲学思想挖掘出来，用哲学的观点看世界、认识世界；从数学的结构中挖掘其美学意义，使学生学会欣赏数学、感受数学美带来的愉悦，增强学习数学的兴趣、形成用数学的观念。
片段一：
1、设置疑问：
谈话：同学们现在看到是我们学校管乐队排练的情况，导演想把这48人排成长方形的队形，可以怎么排？
生：48排，每排一人
生：24排，每排2人……
生：不行，如果48排，每排一人，这样队伍太长了，不好看也不合理。（师及时评价：你想的真周到，有道理。）
谈话：他们说的对不对、全不全？别急，如果学习了今天的知识，你们就会用数学的方法来解释了。
2、摆一摆
谈话：同学们都有12个同样的小正方形，你能用这12个正方形摆成一个长方形吗？比比看，谁摆的最快。摆完的同学想一想，你能不能用一道乘法算式来表达你的摆法？
谈话：你列的乘法算式是什么？猜猜他可能是怎样摆的?
谈话：根据这三种摆法，我们得到了三道不同的乘法算式，同学们可别小瞧这三道算式，我们今天研究的内容就从研究这三道算是开始。
3、自学
谈话：（多媒体展示）这是我们书上的一段话，请同学们自己认真读一读。（2×6=12，2是12的因数，6也是12的因数，12是2的倍数，12也是6的倍数。）
谈话：你学会了什么？（知道2是12的因数，6也是12的因数，12是2的倍数，12也是6的倍数。）
谈话：在2×6=12中，2、6叫什么？（因数）12叫什么？（积）也就是说，在乘法算式中，因数是积得因数，积是因数的倍数。这就是我们要研究的内容：因数和倍数（板书）
【设计意图：数学来源于生活。我从生活中学生熟悉的场景——学校管乐队排练入手，抛出问题，让学生在解决问题的过程中发现疑问（学生说了很多方法，有赞同的，有反对的，思维的火花不断碰撞），很自然的激发起学生探究新知的欲望。“你能用这12个正方形摆成一个长方形吗？比比看，谁摆的最快。摆完的同学想一想，你能不能用一道乘法算式来表达你的摆法？”这个问题的创设，直接将学生置身于数形结合的情境中。运用数形结合的方法研究数学问题，有助于提高学生的数学素养，提高学生分析问题、解决问题的能力。“猜猜他是怎么摆的”这句看似无心的问话，实际独具匠心，培养了学生认真倾听别人答案的好习惯。而且在为学生打开数与形联系的这扇门的同时，还渗透了遇到问题敢于挑战的精神。评价学生时，我有意倾情呵护学生发言的权利，“你讲的有道理，但有一点点小问题”、“老师真佩服你们，自学得这么好。”这样的评价语体现了一分为二的辩证思想，充满智慧、哲学的思辨色彩，在潜移默化中让学生感受到数学文化之美。】（此处写的太夸张）
二、感受数学思考之美
著名教育家赞可夫有句名言：“教会学生思考，这对学生来说，是一生中最有价值的本钱。”在这节课中，要找出一个数的几个因数并不难，难就难在找出这个数的所有因数。这里有一个方法问题。是把方法简单地告诉学生，迫切地寻求结果，还是给学生充分的探究时间，让他们通过独立思考、交流讨论，从而发现问题、解决问题呢?
片段二：
探索找一个数的因数的方法
（1）找一个数的因数。
谈话：现在我们知道了3、8都是24的因数，24的因数还有那些？你能把24的所有因数都找到吗？先自己试一试。
（2）小组交流，讨论。
谈话：能不能找到一个好办法，既不重复又不遗漏的把24的所有因数都找到。小组讨论一下。
（3）全班交流：
谈话：谁找到好办法了？
指名让学生拿着答题纸在站台上展示讲解：
法一：用乘法想
1×24=24，2×12=24，3×8=24，4×6=24所有的这些因数1、24，2、12，3、8，4、6，都是24的因数。（板书这些乘法算式）（有的学生可能没有按顺序排一排）
法二：用除法想
24÷1=24，24÷2=12，24÷3=8，24÷4=6，得到24的因数有1、24，2、12，3、8，4、6
（板书这些除法算式）
谈话：不管用乘法想还是用除法想，他们都是从几开始想的？再想几？
谈话：他们都是按一定的顺序写的，说明这些小组做到了有序思考，而且都是从1开始想的。在这里老师要提醒你们一句，我们研究一个数的因数和倍数时，这个数指的都是除零以外的自然数。
谈话：我还发现有小组是这样写的：（展台）1、2、3、4、6、8、12、24，这种写法和上面的写法有什么区别？(一种是一对一对的写，一种是从小到大写的）
老师有一种把办法可以把这两种写法融合在一起，仔细看我是怎么写的。（一对一对的，一头一尾的写）
下面就用我们刚才得到的方法重新写一写24的所有因数。
（4）练习
谈话：那么你会找7、16的因数吗？独立写在答题纸上。重点强调16的因数，两个4一样了，只写一个4就可以了。
（5）因数的特征
谈话：观察这些数的因数，你发现了什么？（若生有困难，可小组讨论）
师生共同总结：一个数的因数的个数是有限的，最小的因数是1，最大的因数是它本身。同为互相说说这个结论。（帮助记忆）
探索找一个数的倍数的方法
（1）独立探索找一个数的倍数。
谈话：同学们真厉害，这几道题都难不倒你们。之前我们研究的全都是一个数的因数，下面我们研究一个数的倍数。你会找4的倍数，7的倍数吗？自己试一试。
谈话：谁会：你是怎么想的？
用4分别乘1、2、3……得出3的倍数。
用4依次地加4得到4的倍数。
你认为哪种方法能更迅速地找出4的倍数?(学生讨论交流)
4的倍数能找得完吗?那么，可以怎样表示4的倍数的呢?(生：用省略号表示)
（2）找倍数的特征
谈话：观察这些数的倍数你发现了什么？（生独立找）
师生总结：一个数的倍数的个数是无限的，最小的是它本身，没有最大的倍数。
【设计意图：在探索找一个数的因数的方法时，我先让学生独立思考一段时间，避免部分学生思考懒惰，再进行小组讨论。刚开始，有的学生的思考是无序的，有的学生则能有序思考，我通过建立交流互动的平台，力争为学生营造出一个“对话场”，在生生、师生多角度、多层面的对话中，能让师生彼此分享经验、沟通思考，生成新的看法。让学生的思维在交流中碰撞，在交流中深入。“纸上得来终觉浅，绝知此事要躬行。”由于在探索找一个数的因数的方法时学生有了充分思考、实践的时间和空间，在教学一个数的倍数时，我大胆放权给学生，结果学生不仅会有序找出一个数的倍数，还会用省略号表示无限个，无形中学生就自觉站在一定的高度用数学的方法去思考实际问题，他们的概括能力、表达能力、思维能力都得到了发展。数学知识、数学思想方法、数学美交融在一起，极大的提高了学生学习的有效性，也让学生体验到数学思考的无穷乐趣。】
三、感受数学应用之美(此部分的2个练习好像不是现实中的问题吧，很牵强)
生活永远是数学问题不枯竭的源泉，关注现实世界中数学的应用，从现实生活中发现数学问题，把“实际”与“知识”联系起来，并运用“知识”解决“实际”，才能有效地培养学生的应用意识和能力。
片段三：
练习1、老师买了一个疗程的防甲流的中药，它的价钱是6的倍数（50元以内），这种药的价钱可能是多少？
练习2、这种药的价钱不仅是6的倍数,还是5的倍数，你能确定这种药的钱是多少吗？
小游戏
谈话：这节课我们就上到这里，你们能到这里上课，说明你们平时就表现的很不一般，那今天咱就用不一般的方法离开教室。每一位同学手中都有一个神奇的自然数，听要求：
请持有9的倍数的同学收拾好东西站在左边准备退场（生判断对不对）
（结果持有9的这位学生却没有站出来，正当我在寻找时，那位同学羞怯的跑出来说：“老师，我看反了，我还以为是6呢。”听课老师传来善意的笑声。其实，这位学生反而比别的学生更深一步的思考了，因为当他发现缺9时，马上意识到可能自己看反了。）
请持有35的因数的同学收拾好东西站在右边准备退场（生判断对不对）
剩下的同学，老师想请你们全部退场，我应该怎么说？（是1的倍数的或1是谁的因数的）
【设计意图：由于上课前后那段时间正是甲流爆发时期，于是我设计了练习1、2，让放学生感受到数学与生活的密切联系，突出数学来源于生活，也要应用于生活，同时渗透公倍数的知识。最后的小游戏以自然数的神奇奥秘唤起学生的好奇之心，感受数学应用之美。】
总之，在数学课堂中，我力争让学生在学习数学知识、数学方法的同时感受数学的别样美丽，让每一位学生都能产生学习数学的兴趣，让自己聆听到生命拨节的声音。