——论以学生发展为本的数学课堂教学
“问题情境”是指学生面临着期望解决问题，而一下子又找不到解决它的方法和途径的情况。创设一个好的“问题情境”，可以使学生处于“愤”、“悱”状态，产生渴求知识的激愤情绪和急于表达的焦急情绪。在数学课上，通过创设“问题情境”来引起学生学习中的兴趣、悬念、疑虑，甚至惊讶，这些带有情绪色彩的心理状态，在教师的适当诱导和学生的相互启发下，就能转化为思维的火花，从而使课堂教学取得显著的效果。
一、 丰富联想，激发兴趣
兴趣是人们力求认识某种事物或爱好某种活动的倾向，这种倾向是和一定的情感联系着的。在学习上，兴趣则表现为求知欲，它是推动学生进行学习活动的内在动力。我国古代著名的教育家孔子早就认识到兴趣对于学习的重要性。“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”强调数学必须做到使学生“好之”，“乐之”。爱因斯坦对此也有精辟的论述：“对一切来说，兴趣是最好的老师。”现代心理学的研究也表明：学习兴趣的水平，直接影响着学习的效果。初等数学是研究现实世界空间和数量关系的科学，由于它的抽象性、严谨性，使很多学生望而却步。如果教师在传授知识时，能根据所授内容和课型要求，设计联想性问题，促使学生展开丰富的想象，不仅可以培养学生联想思维能力，又可使数学课堂教学生动而有趣。
例1：立体几何第一课，教师要求学生带六根火柴棒，搭出四个全等的正三角形。学生的思维停留在平面上，反复试验，不得其解。老师稍加点拨，将思维引入空间，不少学生茅塞顿开，搭成正四面体的框架，并顿觉空间的奥妙。此时教师再引出课题：说明立体几何是研究空间图形的性质、画法、计算的学科。学生的注意力就高度集中，联想翩翩，兴趣盎然，对立体几何逐渐产生浓厚的兴趣。
例2：介绍“等比数列求和”的知识时，制造了一个市场经济的氛围，自编了这样一个故事：一位数学家与个体生意人谈“借贷”，数学家答应每天给生意人100万元，生意人要在这个月内每一天按这样还款，第一天还1元，第二天还2元，第三天还4元，第四天还8元……。请你替生意人拿个主意，这种借贷是否合算。学生被这有趣的问题吸引住了，展开思考，各抒己见。教师看看时机已到，点明课题，“等比数列求和公式”，就使学生全神贯注地进行等比数列求和学习。
联想是多角度的，可从生产实践、生活琐事、名人轶事、历史典故中设计选编出具有趣味性和惊奇性的问题，能造成学生认知上的冲突，引发学生积极思考。实践证明，设计联想问题，可以给学生插上遐想的翅膀，可以诱使学生步入解题成功的殿堂，可以使学生的思维更开阔，更灵活，更具有独创性，可以使学生对数学学习保持浓厚的兴趣。
二、精心布局，巧设悬念
悬念是一种心理机制，它对大脑皮层具有强烈而持续的刺激作用，使人一时猜不透，想不通，又丢不开放不下，尤其能激发学生的学习激情，促使学生思维活跃，想象丰富，记忆加深。在数学课堂教学中，恰当设置悬念，能紧扣学生心扉，启迪他们认真细致地钻研问题，激励他们的探索欲望，对提高课堂教学效益具有不可低估的作用。
例3：在进行“两角和的余弦公式”教学时，先让学生练习：在以下条件下，分别求
学生通过求 ，顺利地解决了（1），通过查表解决了（2），但对（3）却无能为力。教师在肯定（1）、（2）的同时，指出：（2）的结果不够精确，且对（3），用（2）的步骤无法进行，趁学生急于知道如何求（2）的精确值及如何解决（3）时，教师顺势设置悬念： 能用 的正弦和余弦表示出来吗？ 如能，应怎样表示？这就为学习“两角和的余弦公式”创设了良好的思维情境。
例4：在学完“等差数列”后，教师将已经制好的“等差数列”小结的表格分发给学生，让学生填写“等差数列”栏中的内容：
|
名称 |
等差数列｛an｝ |
|
|
定义 |
（常数） |
|
|
通
项 |
公式 |
|
|
|
推广 |
|
|
|
重要
性质 |
m+n=p+q(m,n,p,q∈N) |
|
|
|
|
|
中
项 |
定义 |
2A=a+b |
|
|
|
2 |
|
然后教者指出：我们知道，加、减运算是一级运算，乘、除运算是二级运算，乘方、开方运算是三级运算。如果我们将一级、二级运算依次提高一个运算等级，会出现什么结果？运用这种结果，将“等差数列”定义中的“差”提高一个运算等级，得到的数列应称为什么数列？请课后利用运算等级的方式完善上表右栏，并考虑如何证明你得到的通项栏与性质栏中的结论。
这一悬念的推出，犹如一石投进平静的湖面，激起了学生思维的浪花，为“等比数列”的学习奠定了坚实的基础。
教学过程是一个不断设悬、破悬的过程。因此，悬念的设置贯穿于概念、定理、公式、法则和例题教学的全过程。实践表明，课中适当增设悬念，能收到“学有所思”，“思有所得”的良好效果。
三、制造陷阱，解惑释疑
心理学告诉我们，青少年时期学生的思维特点，虽然抽象逻辑思维日益占主导地位，但思维中的具体形象成分仍起着重要的作用，他们的思维品质还未完全成熟，看问题欠全面，讨论问题易武断、偏激、缺乏冷静态度。我们在教学实践中经常碰到这种情形，有一些学生好象很聪明，接受能力也很强，老师一讲就懂，一点就通，自己一看就会，但一做就错。究其原因，在于学生良好思维品质还未完全形成，凭“想当然”解题。针对这种情况，教师应依据具体的教学内容，首先了解、预测学生认识上可能的欠缺，有意识、有计划地在课堂教学中针对学生的弱点，通过选择合适的例题，找出似是而非的各种观点，并设计看似合理的推理过程或利用学生思维心理的缺陷诱发出轻率的判断，在容易犯错误的节骨眼上设置“陷阱”，诱使学生上当、出错，再通过反思获得正确的认识。这样既可提高记忆的效果，又能优化思维品质，并且有助于知识的理解。
例5：讲“函数 的图象 时，用形式或过程表面上的想象而制造陷阱，诱发出错误的直觉。先让学生用五点作图法，画出 的图象，并研究其与函数 图象的关系（将 ），接着问：函数 图象可由函数 的图象作何种变换得到？这种诱误极易使不少学生得到 的错误结论。此时教师可故意沉默不语，形成空白时空，使学生产生疑惑，学生自然会重新检讨自己的思维过程，检验所得结论。
例6：“利用不等式求函数的最值”一课，有意运用一例：已知 的 ，给出两种解法如下，供学生辨析。
解法（1）
解法（2）
学生们很惊讶，两种解法步步有据，为何结论不同，到底问题出在哪儿？通过讨论，不难看到是忽略了公式成立的先决条件。在解法（2）中，因 是常量，且 成立。即当 时， 的最小值是 这是正确的。而解法（1）中 虽然是常量，但是满足x 的值不存在，所以谈不上求最值，解法（1）是错误的。通过辨析，不仅学生能深刻认识错因，而且在练习，错误率大大减少。
四、一题多变，举一反三
一题多变即根据例题的已知、求解，先将原题分析解答清楚，在学生掌握一般方法后，将原题扩展引深、变型，在不离开应讲内容下，由一题变为多题，这样从简到繁，逐步扩展，每一次扩展都形成新的“问题情境”，使学生既可巩固复习知识，又可强化思维方式，提高应变能力，达到举一反三，触类旁通之目的。同时，边改边讲边练，使学生精力集中，思维活跃，学习积极性高，有效地利用课堂时间，学生学得有趣，教师教得轻松。
例7：过抛物线y2=2px (p＞0)焦点的一条直线和此抛物线相交于两个交点的纵坐标为 y1,y2， 求证y1 .y2= -p2
本题证明比较简单，我们所感兴趣的是如何引导学生对此题继续进行探索、交换而得到一系列的命题。
（1）只改变命题的条件或结论
变式1 ： 过抛物线y2=2px (p＞0) 的焦点的一条直线与此抛物线相交于两点 p1,p2 ，若p1 (x1,x2) ,p2 (x1, x2) ， 求证：x1, x2=
变式2 ：过抛物线 y2=2px(p＞0) 的弦的两端点p1 (x1,x2) ,p2 (x1, x2) 的坐标适合y1 .y2= -p2
(x1, x2= ) 则弦必过抛物线的焦点。
（2）将命题的特殊条件变为一般条件
变式3 ： 过定点A(a,0) (a＞0) 作直线交抛物线y2=2px(p＞0) 于p1 (x1,x2) ,p2 (x1, x2)
则y1 .y2= -2pa，x1, x2=
变式4： 若过抛物线 y2=2px (p＞0) 的焦点F 的弦的两端点p1 ,p2 分别作对称轴的垂线，垂足分别为Q1 Q2 ，则OF是 O Q1 ,OQ2 的比例中项。
变式5 ： 若抛物线y2=2px (p＞0) 的任意弦P1P2 交X 轴于A(x3,0) (x3＞0) ,其中 p1 (x1,x2) ,
p2 (x1, x2)，则 x1 ,x2 ,x3 成等比数列。
（3）同时变换命题的条件和结论
变式6 ： 过抛物线对称轴上任一点的直线与抛物线交于两点得到一条弦，则该弦端点的横（纵）坐标之积是常数。
如此借题发挥，一题多变，以点串线，联想扩展，对培养学生由此及彼，由表及里的思维方法起到了举一反三，触类旁通的作用。
至于创设“问题情境”的时机，可在引入课题时，也可在知识传授过程中；可在新授课中，又可在复习课中。但在创设“问题情境”时要注意三点。（一）、要优化“问题情境”的设计与构造。教师要从学生的心智状态出发，抓住学生理解教学内容时可能产生的疑惑，或是学生原有的认识与新授知识的矛盾，或由于知识和能力的不足产生的障碍，从而去设计“问题情境”。（二）、创设的问题要适度。这里所说的“度”，就是指设计的问题符合绝大多数学生的认识水平，适合大多数学生的知识能力水准的“最近发展区”。如果问题要求过高，偏离了大多数学生的认识实际，会使学生束手无策，兴趣盎然；如果问题要求过低，学生几乎不必思考，达不到培养思维能力的目的。恰当的问题是把学生置于苹果园里摘苹果，给他们造成站着摘不到跳起来能摘到的思维境地。（三）、创设“问题情境”，是以能解决问题为先决条件，不能只创设问题，而不解决问题。总之创设好的“问题情境”，不仅要求教师充分把握知识的结构、重点、难点，各阶段知识的内在联系，而且要求教师具备丰富的课外知识和想象能力，善于挖掘现实世界与数学知识的联系