图形与几何
例57 从一个侧面为正方形的长方体实物中抽象出长方体、长方形、正方形、线段和顶点。
[说明] 学生在日常生活中见到的物体都是立体的，而在纸上画出的图形都是平面的，这是一类很重要的抽象。特别是把物体表面分解，有利于培养学生的空间观念。
例58 探索并掌握“对顶角相等”。
[说明] 希望让学生知道，研究图形的性质可以用不同的方法。
图13
方法一：如图13，如果∠AOB=50°，可以算得∠A′OB=130°，∠A′OB′=50°，∠B′OA=130°；若改变∠AOB的度数，同样可以算∠A′OB，∠A′OB′，∠B′OA′的度数，从中引导学生发现∠AOB与∠A′O B′，以及∠A′OB与∠B′OA的大小相等可能具有一般规律。这是用不完全归纳（合情推理）的方法，猜想“对顶角相等”。
方法二：用硬纸片制作一个角，把这个角放在白纸上，描出∠AOB；再把∠AOB绕着点O 旋转180°到∠A′OB′的位置，即OA与OA′在同一条直线上，OB与OB′在同一条直线上（如图13），因此∠AOB与∠A′O B′是对顶角，且它们的大小相等。这是用图形运动的方法证明“对顶角相等”。
方法三：利用“同角的补角相等” ，用演绎推理的方法证明“对顶角相等”。
在具体的教学过程中采取哪种方法，或者几种方法同时介绍，可根据实际情况酌情处理。
例59 证明：两直线平行，则同位角相等。
图14
[说明] 考虑到学生的实际情况，在教学过程中，给出下面证明方法的时间可以酌情处理。
这个证明可以利用反证法完成，一方面使学生了解结论的证明，另一方面可以帮助学生了解反证法。如图14所示，我们希望证明：如果AB∥CD，那么∠1＝∠2。假设∠1≠∠2，过点O作直线A′B′，使∠EOB′＝∠2。根据“两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行”这个基本事实，可得A′B′∥CD。这样，过点O就有两条直线AB、A′B′平行于CD，这与基本事实“过直线外一点有且仅有一条直线与这条直线平行”矛盾，说明∠1≠∠2的假设是不对的，于是有∠1＝∠2。
例60 直观阐述基本事实：两组对应边及其夹角分别相等的两个三角形全等。
[说明] 虽然基本事实是不需要证明的，但是启发学生进行直观分析、探索结论的合理性。
图15-1 图15-2
如图15-1所示，一个三角形由六个元素构成，即三条边和三个角，因此，两个三角形如果三条边和三个角分别相等，则这两个三角形全等。问题是，最少几个元素就可以确定三角形从而构成全等条件呢？
观察图15-1中的△ABC，如果对图中的边BC“视而不见”，这样，对∠B和∠C也就“视而不见”了（如图15-2），此时△ABC的形状和大小并不改变。这就是说，AB、AC两条边及它们的夹角确定了△ABC的形状和大小，于是可以推断，两边以及这两边的夹角可以确定一个三角形。因此，可以认同“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”这个基本事实。
另外，也可以用图形运动（叠合）的方法确认“两边及其夹角分别相等的两个三角形全等”这个结论。
对于基本事实：两角及其夹边分别相等的两个三角形全等，直观分析可以借助下面的图16-1、图16-2。
图16-1 图16-2
可以引导学生思考，为什么“三个角分别相等的两个三角形全等”不能成为基本事实。
对于以上事实的认可，也可以从六个元素中的一个出发，既由少到多进行考虑，通过画图探索出需要几个元素即可确定一个三角形。
例61 根据性质对平行四边形、矩形、菱形、正方形分类。
[说明] 在第一和第二学段都讨论过分类的问题，通过分类有助于学生把握问题本质，了解研究对象的共性与差异。特别是对于几何图形分类，有利于培养几何直观性和思维的层次性。
分类的关键在于确定分类的标准，在不同的标准下可能会有不同的分类结果。一般来说，分类标准可以由粗到细，即由一个特征发展到多个特征（参见第一学段例19）。针对本问题把图形分为两类（其中一类可以是空的，在具体教学过程中不出现空集的概念）的标准可以考虑为：对边平行；对边平行且有一个角为直角；对边平行且四条边相等；对边平行、有一个角为直角、四条边相等。还可以通过对角线建立分类标准，等等。在具体教学过程中，可以启发学生想象，也可以做出实物让学生操作。
例62 探索并了解：过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等。
[说明] 通过探索和了解此结论的证明，帮助学生体验发现结论到验证结论的过程。
教学中可以参考安排如下的过程：
（1）发现结论。在透明纸上画出如图17-1的图：设 ， 是⊙ 的两条切线， ， 是切点。让学生操作：沿直线 将图形对折，启发学生思考，或者组织学生交流。学生可以发现：
， 。
这是通过实例发现图形性质的过程。启发学生由特殊到一般，通过合情推理推测出切线长定理的结论。
图17-1 图17-2
（2）证明结论的正确性。如图17-2，连接 和 。因为 和 是⊙ 的切线，则 ，即 和 均为直角三角形。又因为 和 ，则 与 全等。于是有
， 。
这是通过演绎推理证明图形性质的过程。
由此可见，合情推理与演绎推理是相辅相成的两种推理形式，都是研究图形性质的有效工具。
例63 某同学画出了如图18的图形，他发现：如果四边形ABCD 和BEFC都是平行四边形，则四边形AEFD也是平行四边形。并且，他如下证明了这个发现。
图18
证明：因为ABCD是平行四边形
所以 AD=BC ①
AB=CD ②
又因为BEFC也是平行四边形
所以 BC=EF ③
BE=CF ④
由①③得 AD=EF ⑤
由②④得 AB+BE=DC+CF ⑥
因为⑤⑥成立，所以四边形AEFD是平行四边形。
你能理解他的证明过程吗？
[说明] 引导学生判断上述结论与证明是否正确，希望学生通过错误的事例，感悟特殊和一般的关系，感悟演绎推理的逻辑要求。
例64 证明例62的结论。
[说明] 例62中，已经给出了“过圆外一点所画的圆的两条切线的长相等”的证明，但表达方式没有用综合法证明的格式。综合法证明格式可以为：
证明：如图5-2，连接 、 。
∵ 、 是⊙ 的切线（已知），
∴ （切线性质），
即 、 为直角三角形。
∵ （同圆半径相等）， ，
∴ ≌ （斜边直角边定理）
∴ （对应边相等），
（对应角相等）。
上述证明与例62中给出的证明在两者本质上是一致的，仅是表达形式的不同，都是正确的。虽然例62的证明过程没有采用形式化的三段论，但有利于初学者把握证明的条理和说理的逻辑。
例65 下面图19-2中的三个三角形是由图19-1中的三角形经过平移、旋转和轴对称得到的，分别指出图形运动的形式，并标出对应的角。
图19-1 图19-2
[说明] 把运动后的结果归纳在一起让学生辨认，有利于学生理解三种图形运动形式的不同之处，从而把握平移、旋转和轴对称的基本特征，体验图形运动是研究图形的有力工具。
例66 在直角坐标系中描出下列各点，将各组的点顺次连接起来。观察这个图形，你觉得像什么？
（1）（2，0），（4，0），（6，2），（6，6），（5，8），（4，6），（2，6），
（1，8），（0，6），（0，2），（2，0）；
（2）（1，3），（2，2），（4，2），（5，3）；
（3）（1，4），（2，4），（2，5），（1，5），（1，4）；
（4）（4，4），（5，4），（5，5），（4，5），（4，4）；
（5）（3，3）。
[说明] 在第二学段已经学习了利用方格纸画直角坐标系，理解整数坐标与格子点的对应关系（参见第二学段例36）。在本学段将学习一般的直角坐标系。利用直角坐标系可以把数与图形有机地结合起来，有利于用代数方法研究几何问题，也有利于借助图形直观地探索数量关系的规律性。
这个问题可以进一步扩展：把家乡的地图放在直角坐标系的第一象限内，然后等间隔地画出与坐标轴平行的两组平行线，一边用数字表示，一边用字母表示，然后让学生寻找自己熟悉的地点，并用数字和字母表示出该点。让学生理解，坐标的表示可以是多样的，坐标的核心是对应关系而不是具体表示形式。
例67 如何用方向和距离描述下图20中小红家相对于学校的位置？反过来，学校相对于小红家的位置怎样描述呢？
图20