综合与实践
例40 绘制学校平面图。
按照确定的比例和方位，绘制校园的平面图，包括围墙、主要建筑、主要活动场所、道路等等。
[说明] 本活动适用于五、六年级，目的是通过实际操作，让学生更好地理解位置、方向和比例等基础知识，掌握测量的方法。因为整个操作比较复杂，建议采用小组活动的形式，既有利于培养学生统筹规划的实践能力，也有利于学生体验团结协作、获得成功的快乐。
教学中可以作如下设计：
（1）选择测量工具。最简单的测量工具是指南针和皮尺（也可用步长近似测量）。
（2）分组。在教师的指导下，各小组讨论并形成基本测量方案，组内分工。各小组完成实际测量后，绘制校园平面图。
（3）交流。各小组展示本组绘制的校园平面图，交流绘制的方法和过程（可以用壁报、幻灯等形式）。
例41 旅游计划。
某人计划用5天的时间去某地旅游，所需费用大概是多少？
[说明] 适用于本学段的各个年级，要求可以不同。关于目的地和时间，教师可以根据实际情况提出。这个问题需要学生自己调查研究，认真制定计划，根据计划计算费用。因此，这是一个灵活的开放题。为了便于调整计划，可以先考虑几种方案，然后比较筛选，也可以分小组活动，分工调查、集体讨论后制定一个统一的计划。
在学生报告结果时，教师应要求学生能对自己和别人的方案进行评价。
例42 面积分割。
用一条直线把一个正方形分为两部分。如果要使这两部分的面积相等，这条直线应当满足什么条件？
[说明] 本活动适用于六年级。希望引发学生深入思考，发现结论，经历从直观分析到推理的过程，有利于培养学生进行数学探索的兴趣。教师要鼓励学生，能够说出对角线和中线的就应当是正确，进一步引导学生在这四条线中找出共性，即直线应当过正方形的中心点。教师还可以引导学生通过面积的等量关系进行验证。
图11
对于学有余力的学生，教师可以鼓励他们思考“过中心的任何一条线段是否都可以把正方形分成面积相等的两部分”。
例43 利用特征分类。
收集不同种类树的叶子，测量叶子的长和宽，计算叶子的长宽比，并按照比值对树进行分类。
[说明] 我们可以抓住树的某些特征对树进行分类，本例是利用树叶来对树进行分类。
本活动适用本学年段的各个年级，要求可以不同。学生先通过数据收集和分析知道一些树的树叶的长与宽的比；对于新采集到的树叶，通过长与宽的比来判断这个树叶是属于那种树。这一学习活动有利于培养学生的数据分析意识，体会有许多事情，通过数据分析可以抓住本质。知道数据不仅仅是别人提供的，还可以自己收集；对于同一种树，叶子长与宽的比也可能是不一样的，进一步感受数据的随机性；体会只要有足够的数据，就能够分析出一些规律性的结论。
教学中可以作如下设计：
（1）建议采用小组活动的形式，学生通过合作交流可以获得较多的数据和信息。
（2）分析方法可以由简单到复杂。开始可以用平均数来分类，比如，对于同种树，测量、计算了10个树叶，取10个比值的平均数。但是学生很快就会发现，即使是同一棵树，叶子长与宽的比值恰好等于平均数的可能性也很小。可以启发学生考虑比值大概等于平均数，就可以认为是同一种树，即比值可以比平均数大一点或者小一点，从而得到一个数值区间。
这个问题可以举一反三。例如，一年四季的温度，以每天最高或者最低温度为标准，冬夏有很大差异；商店一天的销售情况，以一个小时的销售额为标准，中午与晚上有较大差异。
（3）组织学生交流结果，发挥学生的想象力。
第三学段（7-9年级）
数与代数
例44 灾害预案。
一次水灾中，大约有20万人的生活受到影响。如果灾情持续一个月，大约需要筹集多少顶帐篷？多少吨粮食？
[说明] 解决此问题需要在一定的假设条件下，进行有理数的运算，最后给出估计。
例如，假定一顶帐篷可以住10个人，需要2万顶；假如要保证一个家庭住一顶帐篷，每个家庭4口人，需要5万顶。假定平均每人每天需要0.4千克粮食，可以估计出每天需要的粮食数，10天需要的，一个月需要的。
例45 估计 与0.5哪个大？与1.0比呢？
例46 结合实例解释3a。
[说明] 希望学生理解用字母表示的代数式是有一般意义的。a可以表示数量，例如葡萄的价格是每千克3元，则3a 表示买a千克的金额；a可以表示长度，例如一个等边三角形边长为a，则3a表示这个三角形的周长，等等。
例47 一条河流的水流速度为每小时2.5千米，描述河流中行船实际行走的速度。
[说明] 解决这个问题需要借助符号表述结果，可以使学生理解运用符号的表示具有一般性，有利于学生进一步学习方程，形成模型思想。因为解决问题时需要分顺水行船和逆水行船两种情况，所以可以培养学生在解决实际问题中，尽量把问题考虑全面。
有两种方法供参考：先从具体数据出发寻找规律，然后给出一般表述；先给出一般表述，然后用具体数据验证。无论用哪种方法，都要注意下面两点：从语言表达过渡到符号表达；用具体数据计算来验证表达结果。
例48 利用公式证明第二学段“数与代数”案例中例27所显示的运算规律。
[说明]在第二学段的学习中已经发现了如下的运算规律：
15×15=1×2×100+25=225，
25×25=2×3×100+25=625，
35×35=3×4×100+25=1225。
观察后，我们猜测：如果用字母a代表一个正整数，则有如下规律：
(a×10+5)2=a(a+1)×100+25。
但这样的猜测是正确的吗？需要给出证明：
。
这是一个由具体数值计算到符号公式表达的过程，即由特殊到一般的过程。可以让学生感悟，有些问题是可以通过一般性的证明来验证自己所发现的规律，感悟数学的严谨性，增加学习数学的兴趣。
例49 在一个房间里有四条腿的椅子和三条腿的凳子共16个，如果椅子腿和凳子腿数加起来共有60个，有几个椅子和几个凳子？
[说明]这个问题与第二学段“数与代数”案例中的例30是相同的。事实上，这个问题可以用三种方法建立模型。在第二学段讨论过的方法是基于四则运算，还可以用一元一次方程的方法或二元一次方程组的方法解决。启发学生从不同的角度思考同一个问题，有利于学生进行比较，加深对于模型的理解。
利用一元一次方程解决此问题时，可以引导学生通过具体列表的方式找出规律、建立方程，这样利于学生理解方程的意义，体会建模的过程。假设椅子数为a，则凳子数为16-a，把例30中的表移过来并用字母代替：
椅子数 凳子数 腿的总数
a =16 16-a =0 4a +3(16-a)=64
a =15 16-a =1 4a +3(16-a)=63
a =14 16-a =2 4a +3(16-a)=62
这样，合题意的方程为4a+3(16-a)=60，可以通过尝试的方法，解得a=12，也可以解方程求解。
对于二元一次方程组，则可以直接列方程。假设椅子数为a，凳子数为b，可以得到两个方程a+b=16和4a+3b=60，用代入法得到4a+3(16-a)=60，求解得到a=12和b=4。
从上面的讨论可以看到，用四则运算方法，思考最困难，但是结果最直接；用二元一次方程组的方法，思考最简洁，但是计算较繁琐。
在教学过程中，可以结合具体的教学内容使用这个例子，最后进行比较，启发学生思考。
例50 估计方程 的解。
[说明] 估计方程的解，不仅仅在于求解，也有利于学生直观地探究方程的性质，初步感悟，求数值解也是求方程解的有效途径。一般来说，如果把一个数代入方程左边得到的值为负，把另一个数代入得到的值为正，则在这两个数之间可能有方程的解。根据这个原理，用二分法可以估计方程的解。
分析这个一元二次方程，当x的绝对值较大时，方程的左边必然为正，如-5和3；当x的绝对值较小时，方程的左边必然为负，如2。那么，在-5和2之间，以及在2和3之间方程可能有解。进一步，用同样的道理可以将解的范围缩小，使我们估计的解尽可能精确，如选-5和2的中间值-1.5代入方程的左边进行计算，如果得到的值为正，则在-1.5和2之间有解,否则在-5和-1.5之间有解。可以借助计算器来完成上述的计算过程。
例51 求方程 的解。
[说明] 把求出的解与例50进行比较。
例52 小丽去文具店买铅笔和橡皮。铅笔每支0.5元，橡皮每块0.4元。小丽带了2元钱，能买几支铅笔、几块橡皮？
[说明] 对于初中的学生，这个问题是生活常识，但希望学生能通过这个例子学会用数学的思维方式看待生活中的问题。
这是一个求整数解的不等式问题，并且问题是开放的，通过列表具体计算，有助于学生直观理解不等式。
假设买a支铅笔，b块橡皮，可以得到不等式
0.5a + 0.4b ≦ 2。
当a = 1时，计算得到b ≦ = 3.75，则 b = 3。这样计算，可以建立下面的表格：
a 0 1 2 3 4
b 5 3 2 1 0
金额 2 1.7 1.8 1.9 0
根据上面的表格，小丽可以选择适当的购买方案。
例53 小明的父母出去散步，从家走了20分到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速返回。父亲在报亭看了10分报纸后，用15分返回家。下面的图形中哪一个表示父亲离家后的时间与距离之间的关系？哪一个图形是表示母亲的？
图12
例54 某书定价8元。如果一次购买10本以上，超过10本部分打8折。分析并表示购书数量与付款金额之间的函数关系。
[说明] 这是一个分段函数，函数的三种表示法均适用于这个例子。一般来说，列表法适用于变量取值是离散的情况；分段函数应当画图，并且关注分段点处函数的变化情况。
可以分组讨论三种方法，然后让学生分析比较。
例55 甲乙两地相距20千米。小明上午8点30分骑自行车由甲地去乙地，车速平均每小时8千米；小丽上午10点坐公共汽车也由甲地去乙地，车速平均每小时40千米。分别表示两个人时间与距离的函数关系，并回答谁先到达乙地。
[说明] 问题的要点是同时分析两个函数关系。可以启发学生用各种方法来解答第二个问题，在分析、总结学生的解答时，可以把两个函数的图象放在一起进行直观比较。
例56 温度的计量。
世界上大部分国家都使用摄氏（C），但美、英等国的天气预报仍然使用华氏（F）。两种计量之间有如下对应
C 0 10 20 30 40 50
F 32 50 68 86 104 122
（1）在平面直角坐标系中描述相应的点，观察这些点是否在一条直线上。
（2）如果两种计量之间的关系是一次函数，请给出该一次函数表达式。
（3）求出华氏0度时摄氏是多少度。
（4）华氏温度的值与对应的摄氏温度的值有相同的可能吗？
[说明] 在表中，两个变量对应数值的差之比是一个常数，所以两个变量之间是一次函数关系。摄氏从0度开始，设为横坐标方便。但在求华氏0度对应的摄氏温度时，需要通过函数值来反求自变量的值。在平面直角坐标系中, 该一次函数的图像与直线 y = x的交点处的值就是华氏温度的值与摄氏温度的值相等时的值。