教学建议
例81 “零指数”的教学设计（第三学段）。
通过计算 提出问题：由同底数幂的运算性质，得到 ， 有什么意义呢？等于多少呢？我们需要做出解释，数学面临了挑战。
我们先回顾简单的事实： ，于是可以先提出猜想： =1，然后采用各种途径引导学生感受规定“ =1”的合理性。例如：
用细胞分裂作为情境，提出问题：一个细胞分裂1次变2个，分裂2次变4个，分裂3次变8个……那么，一个细胞没有分裂时呢？；
观察数轴上表示2的正整数次幂16、8、4、2，等等点的位置变化，可以发现什么规律？
1 2 4 8 16
O
图28
再观察下列式子中指数、幂的变化，可以发现下面的规律
这样，在学生感受“ =1”的合理性的基础上，做出零指数幂意义的“规定”，即 。
在规定的基础上，再次验证这个规定与原有“幂的运算性质”是相容的、无矛盾的。例如，计算 ：
因此，学生在学习“零指数”时将经历如下的过程：
面对挑战——提出“规定”的猜想——通过各种途径说明“规定”的合理性——做出“规定”——验证这种“规定”与原有知识体系无矛盾——指数概念得到扩充。
这样的过程较充分地体现了数学自身发展的轨迹，有助于学生感悟指数概念是如何扩充的，他们借助学习“零指数”所获得的经验，可以进一步尝试对负整指数幂的意义做出合理的“规定”。这样的过程较充分地展示了“规定”的合理性，有助于发展学生的理性精神。
例82 百分数的认识（第二学段）。
上课开始，教师与学生共同展示自己收集的生活中的“百分数”例子，比如，在饮料的包装盒上、在衣服的标签上、在报纸上、在玩具的说明书上，学生们发现了很多的百分数。教师要引发学生对这些新认识的数的兴趣，并鼓励学生对于百分数提出问题。比如：
（1）人们为什么要用百分数？
（2）百分数与分数有什么区别？
（3）
百分数是什么意思？
（4）百分号是怎么写的？
（
5）百分数是干什么的？
（6）分数用得多还是百分数用得多？
在此基础上，教师可以与学生一起把问题归纳为：
（1）为什么要用百分数？
（2）在什么情况下用？
（3）百分数是什么意思？
（4）与分数有什么联系？
在对问题进行归纳后，可以让学生分小组尝试回答这些问题，然后教师和学生共同提炼出本节课所要学习的知识。在这些基础上，教师可以进一步引导学生考虑：还可以创造什么数？如果学生的思维活跃，可能会提到十分数、千分数，等等。这个过程，不仅促使学生对知识的理解更加深刻，而且也鼓励了学生思维的创新。
例83 商不变的规律（第二学段）。
可以组织如下的教学过程。
教师先提出问题：尝试编出一道除法运算题，使得商是4，然后如何变化除数与被除数，使得商仍然是4？同学（或者讨论小组）经过思考后，可能会就具体的算式发表类似的意见：被除数乘某数，除数乘某数，商都是4。
教师可以清理学生的思路：是不是被除数变大，除数也跟着变大，商就不变？经过进一步地计算和思考，部分学生可能会得出一般的结论：被除数和除数同时扩大或缩小相同的倍数时，商不变。
最后，教师可以要求所有的学生验证这个结论。
例84 探索数量关系的变化规律（第三学段）。
教师可以先给出题目，求
1+3+5+…+19=？
教学的目的当然不是希望学生通过加法运算得到结果，而是希望学生通过求解的过程归纳出规律，最终预测出一般性的结果并验证。可以有各种途径引导学生探索规律，但在本质上有两条基本途径：由简单到复杂；利用已知的公式。
（1）由简单到复杂。从题目的最简单的情况开始计算，探索规律：
1+3=4
1+3+5=9
1+3+5+7=16
1+3+5+7+9=25
学生可能会发现上述计算结果均为平方数，甚至可能会发现均为算式中因子个数的平方，于是可以预测
1+3+5+…+19=102=100
这个时候，学生可能已经知道了一般的计算公式，但是要让全体学生都能够用数学符号把计算公式表达出来还是有一定困难的。这时，需要先引导学生考虑奇数的符号表达，考虑这个表达与题目中因子个数的关系，然后可以得到一般的结论：
1+3+5+7+…+(2n -1)= n2
最后用数学归纳法等验证这个结论。
这种由最简单情况出发探索规律的方法似乎非常笨拙，但在数学探究中往往是最有效的方法。在教学过程中要让学生关注：分析计算结果的数量关系，寻求规律、提出猜想、符号表达、验证规律。
为了帮助学生思考，教师也提供一些工具，比如下面的点阵，启发学生从数与形的联系中发现规律：
图29
可以看到，图29中的折线中得到的就是平方数，引导学生用算式表达出来，然后得到一般的结论。
（2）利用已知结果。如果学生已经知道自然数前n项和的公式：
1+2+3+…+ =
则可以计算偶数的前n项和的公式：
2+4+6+…+2 = 2（1+2+…+ ）
=
于是奇数的前n项和的公式为：
…+ = +…+ ）-（2+4+…+ ）
= -
=
第二种方法看起来比较简洁，但是从寻找规律的角度考虑，采用第一种方法更合适。第二种方法利于学生理解数学符号的意义，培养学生推导公式的能力。因此，在教学过程，要根据教学目标的不同采用不同的引导途径。