关于三角形全等条件的探索

三角形全等是欧氏几何中展开对图形其他性质证明的基础，因此三角形全等的条件也就自然成为推理证明的基本出发点。以往教材中全等三角形条件的给出，往往是很直接地让学生知道两个三角形的边角边、角边角、边边边分别相等时，两个三角形是能够重合的，从而给出三个三角形全等的三条公理。

但是，这样的处理实际没有将人们对三角形全等的条件的认识的全过程展现给学生，因为从两个三角形完全重合（即三个边、三个角分别相等）到两个三角形的边角边、角边角、边边边分别相等，是需要一定的认识过程的。如果省略了这个过程，学生理解和记忆的更多的是结论，而其中的思考过程、思考问题的方法也被掩盖了，同时，这些结论的本质所在（如：为什么不能省略一些条件，甚至为什么会想到这些条件）。因此，展现这个过程或者让学生经历这个过程，对学生理解“边角边、角边角、边边边”条件的合理性和必要性等都是很重要的，学生从中也能获得思想方法方面的启示。

因此，教材中对三角形全等条件的探索就一改以往的方法，将过程呈现在学生面前，大致的过程是：

 1．情境引入

这是探索三角形全等条件的开始，教材首先提出需要怎样的条件才能做出与已知三角形全等的三角形（事实上，这样的转换表明：两个三角形全等的含义就是满足确定条件的三角形“能够唯一做出”）。教学时，教师可以先从三角形全等的含义即“两个三角形重合”出发，指出如果给出三个角、三条边的条件，那么所画出的两个三角形应是全等的，但是，是否一定需要六个条件呢？能不能少一点呢？然后再引导学生从最少的已知条件开始探究三角形全等的条件。
    2．探索
   （1）只给出一个条件时结论是很显然的，因此，只须学生想象此时的情况即可，无须实际画出三角形。
   （2）当给出两个条件时，学生也不难得出结论。教学中先让学生实际画一画，体验到经考察各种情况后得出结论的过程，初步感受到反例的作用。
   （3）给出三个条件画三角形，有四种可能，让学生在讨论的过程中初步体验到分类的思想。
    此处分别考虑三角、三边、两角及一边、两边及一角的情况。对于三角的情况，学生很容易就能举出反例来说明不成立。对于三边的情况，根据所有的同学作出的三角形都重合，得出第一个根据边角判断三角形全等的条件，让学生从中体验到归纳的思想。

对于两角及一边的情况又分如下两种可能：“两角夹边”与“两角及其中一角的对边”。首先要求学生分别根据所给条件 “两角夹边”与“两角及其中一角的对边”进行作图。作图时，可以利用尺规，也可以利用量角器和有刻度的直尺。在根据“两角及其中一角的对边”条件画三角形时，学生可能会遇到困难，教师可引导学生按照教科书所提问题的线索进行条件的转化，当然，学生如有其他办法作出符合条件的图形也是可以的。在学生画出三角形后，教师应要求他们将所得三角形与同伴的进行比较，以便通过归纳得出结论。
    对于两边及一角的情况也有两种可能：“两边夹角”与“两边及其中一边的对角”。对于“两边夹角”的情况，让学生画出三角形进行交流、比较，然后再改变条件的数据画三角形，最后归纳出结论。对于“两边及其中一边的对角”的情况，可能每个学生在按照教科书的条件作图时，只作出了其中的一种情况，因此让学生充分地进行交流，发现根据同一条件作出的三角形是不完全相同的，从而，利用反例否定了一般性结论的成立，即有结论“两条边及其中同一边所对的角相等，两个三角形不一定全等”。
    3．拓展与引申
    在三角形全等的条件探索过程中，三角形稳定性是“SSS”的一个推论，教学中可以引导学生进行这样的思考，逐渐树立推理的意识。教科书中还给出了两个生活中利用三角形稳定性的例子，在现实生活中，这样的例子还很多，可以让学生找出生活中这样的例子，初步体验到数学知识在生活中的应用。

此外，“两条边及其中同一边所对的角相等，两个三角形不一定全等”也将在探索过程中得到。

至此，探索到的三角形全等的条件以后就可以作为进行推理的公理。三角形全等条件的获取过程，应是在学生通过画图、观察、比较、推理、交流，在条件由少到多的过程中逐步探索出最后的结论。在这个过程中，学生不仅得到了结论，同时也学会了分析、思考、解决问题的方法。在探索过程中，教师要注意给学生留有充分的探索空间，在独立思考后，让学生进行交流，用自己的语言表达，发展合情推理的能力。